Null Space

定义 Definition

null space（零空间）：在线性代数中，指某个线性变换或矩阵 \(A\) 的所有解向量的集合，使得
\[ A\mathbf{x}=\mathbf{0} \] 成立。它是一个向量子空间（包含零向量，并且对加法与数乘封闭）。在中文里也常称为核（kernel）。在不同语境下，“null”还可泛指“空的/无效的”，但“null space”最常见用法是数学意义上的零空间。

例句 Examples

The null space of this matrix contains all vectors that map to zero.
这个矩阵的零空间包含所有被映射为零向量的向量。

To determine whether a linear system has nontrivial solutions, we study the dimension of the null space and relate it to the rank via the ranknullity theorem.
为了判断线性方程组是否存在非平凡解，我们研究零空间的维数，并通过秩-零度定理将其与秩联系起来。

发音 Pronunciation

/nl spes/

词源 Etymology

null 来自拉丁语 nullus（“没有的、无的”），space 来自拉丁语 spatium（“空间、间隔”）。组合成 null space 时，字面可理解为“使结果为零的空间”，用于描述“所有把线性变换送到零向量的输入所构成的集合”。

相关词 Related Words

• Kernel
• Range
• Rank
• Linear Transformation
• Homogeneous
• Eigenvector
• Basis
• Subspace

文学与经典著作 Literary Works

• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）在讲解线性方程与矩阵时系统使用 “null space”。
• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）以线性变换视角讨论核（null space / kernel）的结构。
• Linear Algebra and Its Applications（David C. Lay 等）在解齐次方程组、求零空间基时频繁出现该术语。
• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）在矩阵理论与相关性质讨论中涉及零空间与核的概念。