Linear Transformation

释义 Definition（中文）

线性变换：一种把向量空间中的向量映射到另一个（或同一个）向量空间的函数，满足加法与数乘的线性性质：
对任意向量 \(u, v\) 和标量 \(a\)，有 \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)，且 \(T(av)=aT(v)\)。
（在初等线性代数中，线性变换常用矩阵乘法来表示。）

发音 Pronunciation（IPA）

/lnir trnsfrmen/

例句 Examples

A linear transformation can be represented by a matrix.
线性变换可以用矩阵来表示。

If a linear transformation preserves addition and scalar multiplication, then its behavior is fully determined by what it does to a basis.
如果一个线性变换保持加法与数乘，那么它在一组基向量上的作用就能完全决定它的整体行为。

词源 Etymology（中文）

linear 源自拉丁语 linea（“线、线条”），引申为“沿直线的、一次的”。
transformation 由 *trans-*（“穿过、转变”）+ formation（“形成、形态”）构成，意为“改变形态/形式”。合起来在数学语境中指“以线性规则进行的映射/变换”。

相关词 Related Words

• Linear
• Transform
• Transformation
• Matrix
• Vector
• Vector Space
• Basis
• Dimension
• Eigenvalue
• Eigenvector

文学与经典出处 Literary Works（举例）

• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：系统使用并讲解 “linear transformation” 作为线性代数的核心概念。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：大量以 “linear transformation” 描述矩阵与几何变换的对应关系。
• Finite-Dimensional Vector Spaces（Paul R. Halmos）：以较为严谨的方式讨论线性变换与向量空间结构。