小学奥数概率题，答案不是 1/8 吗？

看下这个能解惑: www.youtube.com/watch?v=7jTIwEmO5NI

图里不是初中奥数么，怎么降了一级。

再转载一次是不是就变成幼儿园奥数了？

在知乎上看到过，思路大概是把鸭子投影成圆周上的一个点，然后再算概率

把圆等分四块 abcd ， 假设其中一个点在切割线上. 剩下三个点满足条件的分两种情况。1. 在同一个等分块里面的概率 1/16 。2. 在 2 个相邻等分块并且包含假设的点的概率是 1/16. 两个加起来 1/8

第一鸭子随便放，第二个有 1/2 概率和它同半圆，第三个有 1/2 概率，第四个有 1/2 概率，三个相乘，1/8

这么想：
在圆上任取 4 点，然后你一定能在最多去掉一个点的情况下让剩下的 3 个点落在一个半圆中。
（这样即 100%满足要求）
然后被你去掉的这个点你去放回圆上任意位置，有 50%的概率和剩下的 3 点同圆，另外 50%的概率在同圆之外。
所以最后的概率是 50%。

@superares 4 只鸭子不需要按照顺序放，所以还要乘 4 ，允许任何一只鸭子做领头鸭。

@superares 想简单了

开始以为是 1/4

把 4 只鸭子看成一个整体，然后随机分布到四个半圆上。1/4 ？

圆内随机生成 4 个点，你总可以把其中 3 个点放在一个半圆内，所以答案是 1/2

@Ericcccccccc 同看过

这个题目李永乐老师有过视频讲解，几个答案都对。之所以这样，主要因为各自认可的出发点不同，比如中彩票，有人认为中和不中两种结果，所以得出 50%

不是 1/16 么。每个鸭子位于任意一个半圆的概率是 1/2 ，1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2

@BBrother
三点怎么能确定放在一个半圆里，比如等边三角形的外接圆。

@barathrum #16
是 4 个点中的其中 3 个点

一共两种可能，要么鸭子全在同一半圆，要么鸭子不在同一半圆。因此概率是 1/2

任意选取一个鸭子，按逆时针顺序标记四个鸭子为 i=0,1,2,3(选取的随机性和逆时针顺序没有改变体系的对称性）。
对于 i=0 的鸭子逆时针扫过的半圆，其余三个鸭子在半圆内的概率为 0.5**3,也就是 1/8, 把此事件定义为事件 0(E0)。对于 i=1 的鸭子逆时针扫过的半圆，其余三个鸭子在半圆内的概率也为 1/8,事件定义为 E1 。易证事件 E0,E1,E2,E3 互斥（证明放后面）。所以 p(四个鸭子在同半圆）=p(E0)+p(E1)+p(E2)+p(E3)=1/2

证明过程: 在 E0 事件中，鸭子 0123 都在以 i0 为开头在逆时针半圆内，即 i0 到 i3 的逆时针夹角小于等于π，即等价于 i3 到 i0 的逆时针夹角大于π。这显然和事件 E1,E2,E3 互斥。同理可证所有事件互斥。

@swulling 23333 。这种造谣的，直接烧一户口本就行。

@Renormalization “逆时针扫过”的含义为某只鸭子和圆心的连线逆时针扫过

将圆分为 0 / 1 两个半圆形, 任意一只鸭子必然出现在任意一个半圆形内.

所以, 每个半圆内鸭子总数可能的组合只有以下几种

0/4, 1/3, 2/2, 所以出现 0/4 的可能是 1/3 的概率.

我是这样想的，不知道是否有错，若有错烦请 V 友指出：
设随机事件 X 的概率为放鸭子放到下半圆的概率，X~B(4,0.5); P{X=4}=1/16 ，全部放到相同半圆，加上上半圆则概率为 1/8

算着好麻烦，有没有人用程序模拟一千遍看看平均概率

半圆如果是不指定的话，挺难算的
算了下貌似是 7/12

@ssynhtn 更正: 有个地方搞错了，是 1/2
而且有人做了模拟了 https://secantzhang.github.io/blog/monte-carlo-method-solving-duck-problem

这个不是逐步算的吗？
1 只--100%，无论落在哪，肯定在它自己的半圆内
2 只--100%，极端情况就是在一个直径上，也肯定在它自己的半圆内。
3 只--50%，只要前 2 只落下，第 3 只有一半机会形成半圆
4 只--25%，第 4 只要前 3 只那个半圆，也只有一半机会。

@superares
@Unclev21x
@kenvix
几位应该都混淆了一个问题条件，这里对半圆的划分不是固定的，是先有鸭子再去看能不能找到一条直径让这些鸭子都在这条直径的同一侧，而不是先把圆划分成两半再去放鸭子看能不能落在同一个划分好的区域。

在这一条件下，当鸭子数小于等于 2 时出现在同一半圆内的概率是 100%的（对于圆内任意两点，除非都在直径上，否则总能找到一条直径使其位于同一侧）。

https://imgur.com/a/zZ8DGVl

按照李永乐老师的解法，3 只鸭子共半圆的概率是 3/4 ，与我上面这一步是一致的

但为什么「三只鸭子共半圆时放入第四只鸭子还共半圆」的概率不等于「四只鸭子共半圆」的概率？

@GeruzoniAnsasu 似乎这就是个关键的陷阱，第三只得出 50%概率的思路也是这样错的

写了个代码算了一下，基本上是接近 0.5 ，也就是 1/2

@buxudashi @GeruzoniAnsasu
第三只不是 50%。如果前 2 只的夹角是 0 度，那么第三只就是 100%成功。如果前 2 只的夹角是 90 度，第三只的概率就是 75%。夹角无限接近 180 度的时候概率是 50%。
所以这里比例是(100+50)/2 也就是 75%。

再往下算第四只鸭子的概率的话：
夹角是 0 度，第三只 100%成功后，第四只成功的概率是多少？和只有两只的概率相同，也就是 75%。
夹角是 90 度呢？相当于圆四等分后，三四两点与一二两点同半圆的概率（ 75%, 62.5%, 62.5%, 0%）的平均值，也就是 50%。
夹角是 180 度呢？ 25%。
所以总的概率就是（ 75%, 50%, 25%）的平均值。

当然以上省略了无数的证明过程，只是取了些特殊点而已。

OP 没看清到底是初中还是高中概率题,求知心切,发出来应该再检查一遍的，抱歉大家。不是恶意造谣的。。。。关注题目内容好了。感谢感谢

完了，没看清是初中还是小学。。。。打错打错了，要被喷死了