观察到一个黑色的乌鸦是否影响所有母牛都是白色的概率？

Since the probability of observing a (black)crow is no affected by the truth of our hypothesis

1. 因为 A 和 B 是独立事件，所以有 P(A∩B)=P(A)P(B)，即 P(A|B)=P(A)且 P(B|A)=P(B)。“X: 观察到一只乌鸦”和“Y: 观察到一只黑色的乌鸦”不是一个事件，后者是“X: 观察到一只乌鸦”且“Z: 乌鸦是黑色的”，所以 P(Y)=P(X∩Z)=P(X)P(Z|X)，因为“所有乌鸦都是黑色的”为真，即必然事件，所以 P(Z|X)=1 ，那么事件 X 和事件 Y 的概率就是相等的，但并非是同一事件。

2. 事件 A 的补设置为“50%的母牛是白色”是人为规定，事实上你可以自由的设置一组先验概率分布，比如[“所有母牛都是白色”，“76.777%的母牛是白色”，“1.2%的母牛是白色”]然后赋予它们各自的概率，而问题中只是为了分析方便，所以规定要么“100%”要么“50%”，其余的事件概率被赋值为 0 。

ps. 整个分析的目的不是为了搞清楚究竟有多少比例的母牛是白色，而是为了说明直觉意义上的“归纳推论方法”是否有效（是否内涵不一致性），结论是“推理方法是有效的”。“观察到一只黑色的乌鸦”并不会对我们判断“所有奶牛都是白色的”命题的真假有所帮助，而“观察到一只白色的奶牛”可以增强我们对“所有奶牛都是白色的”命题为真的“信心”，即后验概率相比先验概率变大了。

@cosette 谢谢你的回复。
关于第一问的答案。答案当中给出 P(B|A)=1-q=P(B) 没有给出证明，只是根据这道题给出的条件和常识得出 B 不会影响我们对 A 的假设。这一点我是同意的。至少想不出反对的理由。但是既然这条理由成立。那么为什么非要“绕道”P(B|A)=1-q=P(B) 来证明 P(A|B)=P(A)=P ? 为什么要绕道呢？上来直接说 A B 无关，所以 P(A|B)=P(A)=P 不就完了？我对这个证明方法挺困惑的。

关于第二问的答案。P(C|A)=q ,但实际上 q 是观察到一头牛的概率。想象一下一个笼子里 母牛都是黑色的，乌鸦也是黑色的。打开门以后，母牛出现的概率是 q ，乌鸦出现的概率是 1-q ，那么此时 P(A 交 C)=0 。P(C|A)=q 并不是理所当然的啊，也许 P(C|A)=0 也说不定。

1. 事实上先说明 P(B|A)=P(B)，在由此说明 P(A|B)=P(A)，没什么特别的证明上的含义，但是从题目的诉求来讲有特别的作用。问题是“看到一只黑色的乌鸦”能否增强我们认为“所有牛都是白色的”为真的信心，因此不能够直接回答 P(A|B)=P(A)，因为这样就相当于我先验的认为 B 不对 A 造成影响，所以题目中会迂回到反面，先使用“所有牛都是白色的”是否为真对“观察到黑色乌鸦”没有影响这个看似无关的先验直觉上。你也可以理解为关于两件事 X 、Y 的直觉，如果我们认为 X 和 Y 无关，即 P(X|Y)=P(X)，那么根据条件概率必定 Y 和 X 无关，即有 P(Y|X)=P(Y)。正向我所说的，题目中的问题不在于说明条件概率，而在于用概率来梳理不那么明确的直觉信念。

2. 你举得例子的问题在于，你想象成笼子里的牛就是世界上全部的牛，换句话说你把一个样本当作了总体。其次，假设你把世界上所有的牛（包括现存的和尚未出生的）都抓到这个笼子里，那么基于条件概率 P(A∩C)=P(A|C)P(C)，P(A|C)=P(A∩C)/P(C)=0/0 ，P(A|C)应该是多少呢？如何理解这个概率呢？是不是因为“事实上”不存在白色的牛，所以 P(A|C)就没有意义了？条件概率的解释是什么？ P(X|Y)表示“在 Y 发生的基础上，X 发生的概率”或者“若 Y 为真，X 也为真的概率”，此处并不考虑 Y 本身的概率 P(Y)。

@cosette 感谢你详细的回答。