蒙特卡罗方法入门

一、概述

蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。

它诞生于上个世纪 40 年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。

二、π的算

第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。

正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。

现在，在这个正方形内部，随机产生 10000 个点（即 10000 个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。

如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以 4，就是π的值。通过 R 语言脚本随机模拟 30000 个点，π的估算值与真实值相差 0.07%。

三、积分的计算

上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。

比如，计算函数 y = x2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。

这个函数在 (1,1) 点的取值为 1，所以整个红色区域在一个面积为 1 的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x2 ）。这个比重就是所要求的积分值。

用 Matlab 模拟 100 万个随机点，结果为 0.3328。

四、交通堵塞

蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。

根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。

当前速度是 v。

如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1，直到达到规定的最高限速。

如果前面有车，距离为 d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d 1。

此外，司机还会以概率 p 随机减速， 将下一秒的速度降低到 v 1。

在一条直线上，随机产生 100 个点，代表道路上的 100 辆车，另取概率 p 为 0.3。

上图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。

可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。

五、产品厚度

某产品由八个零件堆叠组成。也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。

已知该产品的厚度，必须控制在 27mm 以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。请问有多大的概率，产品的厚度会超出 27mm ？

取 100000 个随机样本，每个样本有 8 个值，对应 8 个零件各自的厚度。计算发现，产品的合格率为 99.9979%，即百万分之 21 的概率，厚度会超出 27mm。

六、证券市场

证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。下面是你对市场的预测。

如果交易冷清，你会以平均价 11 元，卖出 5 万股。

如果交易活跃，你会以平均价 8 元，卖出 10 万股。

如果交易温和，你会以平均价 10 元，卖出 7.5 万股。

已知你的成本在每股 5.5 元到 7.5 元之间，平均是 6.5 元。请问接下来的交易，你的净利润会是多少？

取 1000 个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（ 5.5 元到 7.5 元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。

模拟计算得到，平均净利润为 92, 427 美元。

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