无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别？

第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。

对于第二个问题。条件不是每一个 x in D ，而是存在 x in D 。

第三个问题。x 已经在 x0 的去心临域中了，x 自然不可能趋向正无穷，所以也不理解你的问题。

就我对于数分理解来看，我学的教材并没有强调无穷大量和无界量。我个人从定义来看，我认为这两个概念是 identical 的。

我个人对于无穷大量和无界函数的理解是，无界函数的条件是 globally 的，是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的，可以理解为是作用在一个点上的。
无穷大量的条件是更强的，因为你 locally 有的性质，大概可以拓展到 globally 。

另，从我个人读数分的经验来看，英文教材的体感普遍比中文教材好很多。

@Alex222222222222 谢谢你的回复
请问“ 我个人对于无穷大量和无界函数的理解是，无界函数的条件是 globally 的，是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的，可以理解为是作用在一个点上的。”请问你的理解是建立在我问题中引用的“课本截图”之上的么？

@Alex222222222222
“第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。”，其实我只有一个问题，问题是“ 无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别？”

在主贴黑体字“问题”后面是通过对《华东师范大学数分》 p65 页例子的讨论来阐述我的困惑。不知道我这么解释是否让问题更清楚了。如果你觉得哪里不清楚，请告诉我，我再补充！

@huzhikuizainali #3

理解并不完全建立在你的截图上。因为数分中有很多类似的性质，比如 locally compact 和 compact ，compact 是 globally 的性质，locally compact 是 locally 的性质。

一般作用在整个 domain 上的性质我们认为是 globally 的，作用在某个点或者一些点周围的认为是 locally 的。他们之间会有一些联系，因为定义是类似的，但不完全相同。

@huzhikuizainali #4

这样的话，我个人认为他们之间的主要区别就是作用的对象不同。你看定义中，无穷大量明显是强调那一个固定的点 x0 的。

另外对于所谓临域，空心临域之类的，你可以认为这是严格的数分的逼近的定义。不知道你有没有看到 sequence of points 的 converge 的定义。你可以比较他和无穷大量的定义，你会发现无穷大量观察的是 x 趋向于 x0 的时候的性质。

@Alex222222222222
那么如果仅以苏德矿微积分的截图来看。无界量和无穷大量有区别么？虽然，一个是“存在”，一个是“总存在”。但是似乎没有区别啊！

@huzhikuizainali #7

所以我说我认为这两个概念是 identical 的。你也不知道他为什么要给两遍。

@Alex222222222222 #8

是“我也不知道他为什么要给两遍”，不是“你”。

@Alex222222222222
关键这两个概念 “分别” 有相反的概念。无穷大量<-->无穷小量 无界量<-->有界量 而且有个性质：有界量*无穷小量=无穷小量

据此推断，无穷大量与无界量应该是不同的概念吧？因为有界量与无穷小量显然是不同的概念！

@huzhikuizainali #10

的确无穷小量和有界量，而且他们是不同的。但是数学上不存在所谓“相反”概念的严格定义，至少我没有看到过。“相反”是你理解上的相反，是你 intuitive 的相反，而不是数学意义上严格的相反。

正因为所谓的相反不是数学上严格的定义，所以你没有办法证明：“如果 A 和 B 相反，C 和 D 相反，且 B 和 D 不同，那么 A 和 C 必然不同”。

你这个问题本质上的逻辑是在根据你的主观直觉，主观理解来判断他们相反，但是注意数学分析有很多反直觉的结论。在数学分析中你不能依靠感觉，而需要依靠严格的逻辑，定义，和推理。

@Alex222222222222 同意你的说法。
现在的难点在于除了苏德矿微积分。我没有在其他地方找到“无界量”的定义。包括维基百科。数学英汉词典。因此也不知道这个概念的英文专用名词是什么？

@huzhikuizainali #12

就我所知无界量的定义不是很重要，对于微积分来讲。

另外我前两天对于无界量和无穷大量的理解有问题，他们其实是不同的。无穷大量要求 neighbourhood 里面每一个都满足|f(x)|> M. 但是无界量，只要有一个满足就好了。

我们定义 f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0. 很显然这个既是无穷大量又是无界量。

我们定义 g(x) = 1|x|, if x is not rational, g(x) = 0 if x is rational, x_0 =0 . 很显然这个是无界量。
但是并不是无穷大量。譬如取 M = 1 ， 你不存在 delta ， 使得 delta 大小的去心领域内， 对于任意 x ， 都有 g(x) > 1 。
因为你总可以找到一个有理数 r 比 delta 小，于是 r 在 delta 大小的去心领域内，但是 g(r) = 0 < 1.

如果你不是学校需求，需要考试，我不建议学中文教材。或者至少选择外国教材的翻译教材。我个人的感觉很多中文教材没有 intuition ，他不会介绍概念的起源和理解，而是强行灌输知识。我认为的好的教材，是会把你的 intuition 变成数学分析的 intuition 的，会重塑你的 intuition 的。

@Alex222222222222 谢谢你的回复。
有点没看懂。
1 、x_0 = 0 ------------这个 x_0 是什么？
2 、g(x) = 1|x|-----------这个确定 g(x) = 1|x|？而不是 g(x) = 1/|x|
3 、外国教材的翻译教材------有什么推荐的么？

@huzhikuizainali sorry for typo.

x_0 中_指代的是下标的意思，这个指定义中的 x_0 。

g 确实是 1/|x|，typo 。

@huzhikuizainali

教材我其实很推荐毛子教材翻译过来的教材。有一个系列叫：
https://book.douban.com/series/581
非常好的书。因为毛子分析确实很强。

里面关于分析的我看过的是微积分学教程 by 菲赫金戈尔茨，非常不错，内容很充实，建议要看的话稍微选着看，他内容非常多。
另一本卓里奇的听很多人说也很不错，我没看过，不做评价。

@Alex222222222222
我明白 x_0 是下标的意思。但是下面这段内容你想说明什么？我没太理解。
f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0

@huzhikuizainali #17

g(x) 的定义为， 如果 x 有理数，那么 g(x) = 1/|x|, 如果 x 是无理数，那么 g(x) = 0 。你可以拿这个 g 去验证一下无穷大量和无界量的顶替。你会发现 g 是无界量，但不是无穷大量。

@Alex222222222222
这个例子太棒了。无界量是“存在”函数值大于任给的 M 。而无穷大量要求进入去心邻域后，所有函数值都大于任给的 M 。因此 G 是无量，但不是无穷大量。
请问你是怎么想到这个例子的？

@huzhikuizainali 这个参考 dirichlet function ，类似的我们会参考以前的例子，来构造新的例子，主要是要对于常见例子熟悉。