Outer Product

定义 Definition

outer product（外积/外产品）：在线性代数中，指两个向量相乘得到一个矩阵（或更一般地得到张量）的运算。最常见的是：若 \(u\) 为列向量、\(v\) 为列向量，则外积通常写作
\[ uv^{\mathsf T} \] 结果是一个秩为 1（或不超过 1）的矩阵。
注：不同语境里也可能指更一般的“张量积/外积”概念，但入门数学与数据科学中最常用的是“向量生成矩阵”的这个含义。

发音 Pronunciation (IPA)

/atr prdkt/

例句 Examples

The outer product of two vectors is a matrix.
两个向量的外积是一个矩阵。

In machine learning, a rank-one update can be written as the outer product \(uv^{\mathsf T}\), which efficiently adds structured information to a weight matrix.
在机器学习中，秩一更新可以写成外积 \(uv^{\mathsf T}\)，它能高效地向权重矩阵加入有结构的信息。

词源 Etymology

outer 源自古英语 ūtera，表示“外面的”；product 源自拉丁语 productus（“产生、生成”之意）。合起来的“outer product”强调：这种“乘法”的结果并不是一个标量（像点积那样“内积”到一个数），而是“向外扩展”成一个矩阵/更高阶对象的结果，因此得名。

相关词 Related Words

• Dot Product
• Inner Product
• Cross Product
• Tensor Product
• Kronecker Product
• Matrix
• Tensor
• Rank-One
• Dyad

文学与著作中的用例 Literary Works

• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在矩阵与秩、一维子空间等主题中常用外积 \(uv^{\mathsf T}\) 来构造秩一矩阵。
• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：在算子与矩阵表示、秩与分解等讨论中涉及与外积相关的构造（常以向量生成线性算子/矩阵的形式出现）。
• Matrix Algebra: Useful for Statistics（Shayle R. Searle）：在统计中的矩阵运算、分解与更新公式里，外积（或秩一形式）是常见工具。